Rusca Geometri Dersi Anlatımı / Геометрия

ГЕОМЕТРИЯ

Аксиомы планиметрии
1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую и только одну. 2. Из трех точек на прямой одна о только одна лежит между двумя другими. 3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. 4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. 5. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. 6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. 7. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180, и только один. 8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой. 9. Через точку не лежащую на данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Аксиомы стереометрии
Стереометрия - раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. С1: какова бы ни была плоскость, существует точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. С2: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости Альфа и Бетта имеют общую точку, то существует прямая с, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если точка С принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой с. С3: если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну. Это значит, что если две различные прямые a и b имеют общую точку С, то существует плоскость Альфа, содержащая прямые a и b. Плоскость, обладающая этим свойством, единственна. Теорема: через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Доказательство: пусть АВ - данная прямая и С - не лежащая на ней точка. Проведем через точки А и С прямую (аксиома 1). Прямые АВ и АС различны, так как точка С не лежит на прямой АВ. Проведем через прямые АВ и АС плоскость Альфа (аксиома С3). Она проходит через прямую АВ и точку С. Докажем, что плоскость Альфа, проходящая через прямую АВ и точку С, единственна. Допустим, существует другая плоскость Альфа1, проходящая через прямую АВ и точку С. По аксиоме С2 плоскости Альфа и Альфа1 пересекаются по прямой. Эта прямая должна содержать точки А, В и С. Но они не лежат на одной прямой. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Параллелепипед, его элементы
Если основание призмы - параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани - параллелограммы. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. Бывает прямой и наклонный. Прямой параллелепипед: основание - прямоугольник. У него все грани - прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). У прямоугольного параллелепипеда три измерения. Теорема: диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Дано: параллелепипед АВСДА1В1С1Д1., О - точка пересечения диагоналей С1А и ВД1. Доказательство: рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например АС1 и ВД1. Так как четырехугольники АВСД и ДД1С1С - параллелограммы с общей стороной СД, то их стороны АВ и Д1С1 параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней параллелепипеда по параллельным прямым АД1 и ВС1. Следовательно, четырехугольник ВАД1С1 - параллелограмм. Диагонали параллелепипеда АС1 и ВД1 являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказываются другие диагонали. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Параллельные прямые
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися. Теорема: через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной и только одну. Замечание: утверждение единственности в теореме 16.1 не является простым следствием аксиомы параллельных, так как этой аксиомой утверждается единственность прямой, параллельной данной в данной плоскости. Поэтому она требует доказательства. Доказательство: пусть а - данная прямая и А - точка, не лежащая на этой прямой. Проведем через прямую и точку плоскость Альфа. Проведем через точку А в плоскости Альфа прямую а1, параллельную а. Докажем, что прямая а1, параллельная а, единственна. Допустим, что существует другая прямая а2, проходящая через точку А и параллельная прямой а. Через прямые а и а2 можно провести плоскость Альфа2. Плоскость Альфа2 проходит через прямую а и точку А, следовательно по теореме она совпадает с Альфа. Теперь по аксиоме параллельных прямые а1 и а2 совпадают. Теорема доказана.

Площадь сферы
Площадь поверхности сферы - предел отношения объема слоя, покрывающего поверхность, к толщине этого слоя, если толщина этого стремиться к нулю.

Прямая, параллельная плоскости
Пряма и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются. Теорема: если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Доказательство: пусть Альфа - плоскость и а - не лежащая в ней прямая и а1 - прямая в плоскости Альфа, параллельная прямой а. Проведем плоскость Бетта через прямые а и а1. Плоскости Альфа и Бетта пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость Альфа, то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, так как прямые а и а1 параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость Альфа, а значит, параллельна плоскости Альфа.

Конус
Конусом (а точнее круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Прямой конус - прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

Параллельные плоскости
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Теорема: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство: пусть Альфа и Бетта - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости Альфа, пересекающиеся в точке А, в1 и в2 - соответственно параллельные им прямые в плоскости Бетта. Допустим, что плоскости Альфа и Бетта не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме прямые а1 и а2 , как параллельные прямым в1 и в2, параллельны плоскости Бетта, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости Альфа через точку А проходят две прямые (а1 и а2), параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию.

Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. Действительно, согласно определению параллельные прямые - это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Наши прямые лежат в одной плоскости - секущей плоскости. Они не пересекаются, так как не пересекаются содержащие их параллельные плоскости. Значит, прямые параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны
Действительно, пусть Альфа и Бетта - параллельные плоскости, а и в - пересекающие их параллельные прямые, А1, А2,и В1, В2 - точки пересечения прямых с плоскостями (см рисунок). Проведем через прямые а и в плоскость. Она пересекает плоскости Альфа и Бетта по параллельным прямым А1В1 и А2В2. Четырехугольник А1В1В2А2 - параллелограмм, т.к. у него противолежащие стороны параллельны. А у параллелограмма противолежащие стороны равны. Значит А1А2=В1В2.

Касательная плоскость

Касательная плоскость - плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А. Теорема: касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания. Доказательство: пусть Альфа - плоскость, касательная к шару, и А - точка касания. Возьмем произвольную точку Х плоскости Альфа, отличную от А. Так как ОА - перпендикуляр, а ОХ - наклонная, то ОХ>ОА=R. Следовательно точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана. Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то касательная прямая тоже имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.

Прямая, перпендикулярная плоскости

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения. Теорема: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Площадь боковой поверхности пирамиды

Теорема: боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. Доказательство: пусть АВ - перпендикуляр к плоскости Альфа, АС - наклонная и с - прямая в плоскости Альфа, проходящая через основание С наклонной. Проведем прямую СА1, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости Альфа. Проведем через прямые АВ и А1С плоскость Бетта. Прямая с перпендикулярна прямой СА1. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости Бетта, а значит, и прямой АС. Аналогично если прямая с перпендикулярна наклонной СА, то она, будучи перпендикулярна и прямой СА1, перпендикулярна плоскости Бетта, а значит, и проекции наклонной ВС.

Перпендикулярные плоскости

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым. Теорема: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Доказательство: пусть Альфа - плоскость, в - перпендикулярная ей прямая, Бетта - плоскость, проходящая через прямую в, с - прямая, по которой пересекаются плоскости Альфа и Бетта. Докажем, что плоскости Альфа и Бетта перпендикулярны. Проведем в плоскости Альфа через точку пересечения прямой в с плоскостью Альфа прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость Гамма. Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т.к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости Альфа и Бетта перпендикулярны.

Призма

Призма - многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Прямая призма - боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям.
Боковая поверхность призмы (площадь боковой поверхности) - сумма площадей боковых граней. Теорема: боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т.е. на длину бокового ребра.

Теорема о двух прямых, перпендикулярных плоскости

Теорема: две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. Доказательство: пусть а и в - две прямые, перпендикулярные плоскости Альфа. Допустим, что прямые а и в не параллельны. Тогда существует некая прямая в1 параллельная а. Выберем на прямой в точку С, не лежащую в плоскости Альфа. Проведем через точку С прямую в1, параллельную а. Прямая в1 перпендикулярна плоскости Альфа. Пусть В и В1 - точки пересечения прямых в и в1 с плоскостью Альфа. Тогда прямая ВВ1 перпендикулярна пересекающимся прямым в и в1. А это невозможно. Мы пришли к противоречию.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед - параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник. У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). Теорема: в прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых

Теорема: если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Доказательство: пусть а1 и а2 - две параллельные прямые и Альфа - плоскость, перпендикулярная прямой а1. Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2. Проведем через точку А2 пересечения прямой а2 с плоскостью Альфа произвольную прямую х2 в плоскости Альфа. Проведем в плоскости Альфа через точку А1 пересечения прямой а1 с Альфа прямую х1, параллельную прямой х2. Так как прямая а1 перпендикулярна плоскости Альфа, то прямые а1 и х1 перпендикулярны. По теореме (если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны) параллельные им пересекающиеся прямые а2 и х2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а2 перпендикулярна любой прямой х2 в плоскости Альфа. А это значит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости Альфа.

alıntıdır...:5:

rusça da okusam kalmıştım :21: